Извлечение корня из комплексного числа. Извлечение корня из комплексного числа Как найти корень из комплексного числа

числами в тригонометрической форме.

Формула Муавра

Пусть z 1 = r 1 (cos  1 + isin  1) и z 2 = r 2 (cos  2 + isin  2).

Тригонометрическую форму записи комплексного числа удобно использовать для выполнения действий умножения, деления, возведения в целую степень и извлечения корня степени n.

z 1 ∙ z 2 = r 1 ∙ r 2 (cos ( 1 +  2) + i sin( 1 +  2)).

При умножении двух комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются. При делении их модули делятся, а аргументы вычитаются.

Следствием правила умножения комплексного числа является правило возведения комплексного числа в степень.

z = r(cos  + i sin ).

z n = r n (cos n + isin n).

Это соотношение называется формулой Муавра.

Пример 8.1 Найти произведение и частное чисел:

Решение

z 1 ∙z 2
∙

=

;

Пример 8.2 Записать в тригонометрической форме число

∙
–i) 7 .

Решение

Обозначим
и z 2 =
– i .

r 1 = |z 1 | = √ 1 2 + 1 2 = √ 2;  1 = arg z 1 = arctg;

z 1 =
;

r 2 = |z 2 | = √(√ 3) 2 + (– 1) 2 = 2;  2 = arg z 2 = arctg
;

z 2 = 2
;

z 1 5 = (
) 5
; z 2 7 = 2 7

z = (
) 5 ·2 7
=

2 9

§ 9 Извлечение корня из комплексного числа

Определение. Корнем n -й степени из комплексного числа z (обозначают
) называется комплексное число w такое, что w n = z. Если z = 0, то
= 0.

Пусть z  0, z = r(cos + isin). Обозначим w = (cos + sin), тогда уравнение w n = z запишем в cледующем виде

 n (cos(n·) + isin(n·)) = r(cos + isin).

Отсюда  n = r,

 =

Таким образом, w k =
·
.

Среди этих значений ровно n различных.

Поэтому k = 0, 1, 2, …, n – 1.

На комплексной плоскос-ти эти точки являются вершинами правильного n-угольника, вписан-ного в окружность радиусом
с центром в точке О (рисунок 12).

Рисунок 12

Пример 9.1 Найти все значения
.

Решение.

Представим это число в тригонометрической форме. Найдем его модуль и аргумент.

w k =
, где k = 0, 1, 2, 3.

w 0 =
.

w 1 =
.

w 2 =
.

w 3 =
.

На комплексной плоскости эти точки являются вершинами квадрата, вписанного в окружность радиусом
с центром в начале координат(рисунок 13).

Рисунок 13 Рисунок 14

Пример 9.2 Найти все значения
.

Решение.

z = – 64 = 64(cos +isin);

w k =
, где k = 0, 1, 2, 3, 4, 5.

w 0 =
; w 1 =
;

w 2 =
w 3 =

w 4 =
; w 5 =
.

На комплексной плоскости эти точки являются вершинами правильного шестиугольника, вписанного в окружность радиусом 2 с центром в точке О (0; 0) – рисунок 14.

§ 10 Показательная форма комплексного числа.

Формула Эйлера

Обозначим
= cos  + isin  и
= cos  - isin  . Эти соотношения называются формулами Эйлера .

Функция
обладает обычными свойствами показательной функции:

Пусть комплексное число z записано в тригонометрической форме z = r(cos + isin).

Используя формулу Эйлера, можно записать:

z = r ·
.

Эта запись называется показательной формой комплексного числа. Используя ее, получаем правила умножения, деления, возведения в степень и извлечения корня.

Если z 1 = r 1 ·
и z 2 = r 2 ·
?то

z 1 · z 2 = r 1 · r 2 ·
;

z n = r n ·

, где k = 0, 1, … , n – 1.

Пример 10.1 Записать в алгебраической форме число

z =
.

Решение.

Пример 10.2 Решить уравнение z 2 + (4 – 3i)z + 4 – 6i = 0.

Решение.

При любых комплексных коэффициентах это уравнение имеет два корня z 1 и z 1 (возможно, совпадающих). Эти корни могут быть найдены по той же формуле, что и в вещественном случае. Так как
принимает два значения, отличающихся только знаком, то эта формула имеет вид:

Поскольку –9 = 9 · е  i , то значениями
будут числа:

Тогда
и
.

Пример 10.3 Решить уравнения z 3 +1 = 0; z 3 = – 1.

Решение.

Искомыми корнями уравнения будут значения
.

Для z = –1 имеем r = 1, arg(–1) = .

w k =
, k = 0, 1, 2.

Упражнения

9 Представить в показательной форме числа:


б) + i;	г) .

10 Записать в показательной и алгебраической формах числа:

а)	в)
б)	г) 7(cos0 + isin0).

11 Записать в алгебраической и геометрической формах числа:

а)

б)

в)

г)

12 Даны числа

Представив их в показательной форме, найти
.

13 Используя показательную форму комплексного числа, выполнить действия:

а)
б)

в)
г)

д)
	.

Невозможно однозначно извлечь корень из комплексного числа, так как оно имеет ряд значений, равных его степени.

Сложные числа подняты до степени тригонометрической формы, для которой справедлива формула Моиварда:

\(\ z^{k}=r^{k}(\cos k \varphi+i \sin k \varphi), \forall k \in N \)

Аналогично, эта формула используется для вычисления корня степени k из комплексного числа (не равного нулю):

\(\ z^{\frac{1}{k}}=(r(\cos (\varphi+2 \pi n)+i \sin (\varphi+2 \pi n)))^{\frac{1}{k}}=r^{\frac{1}{k}}\left(\cos \frac{\varphi+2 \pi n}{k}+i \sin \frac{\varphi+2 \pi n}{k}\right), \forall k>1, \forall n \in N \)

Если комплексное число не равно нулю, то корни степени k всегда существуют, и их можно представить на комплексной плоскости: они будут вершинами k-угольника, вписанными в круг с центром в начале координат и радиус \(\ r^{\frac{1}{k}} \)

Примеры решения проблем

Задача

Найти корень третьей степени из числа \(\ z=-1 \).

Решение.

Вначале мы выражаем число \(\ z=-1 \) в тригонометрической форме. Вещественной частью числа \(\ z=-1 \) является число \(\ z=-1 \), мнимая часть равна \(\ y=\operatorname{lm} \), \(\ z=0 \). Чтобы найти тригонометрическую форму написания комплексного числа, вам нужно найти его модуль и аргумент.

Модуль комплексного числа \(\ z \) - это число:

\(\ r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{(-1)^{2}+0^{2}}=\sqrt{1+0}=1 \)

Аргумент вычисляется по формуле:

\(\ \varphi=\arg z=\operatorname{arctg} \frac{y}{x}=\operatorname{arctg} \frac{0}{-1}=\operatorname{arctg} 0=\pi \)

Следовательно, тригонометрическая форма комплексного числа равна: \(\ z=1(\cos \pi+i \sin \pi) \)

Тогда корень 3-й степени выглядит следующим образом:

\(\ =\cos \frac{\pi+2 \pi n}{3}+i \sin \frac{\pi+2 \pi n}{3} \), \(\ n=0,1,2 \)

\(\ \omega_{1}=\cos \frac{\pi}{3}+i \sin \frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}+i \frac{\sqrt{3}}{2} \)

При \(\ n=1 \) получаем:

\(\ \omega_{2}=\cos \pi+i \sin \pi=-1+i \cdot 0=-1 \)

При \(\ n=2 \) получаем:

\(\ \omega_{3}=\cos \frac{5 \pi}{3}+i \sin \frac{5 \pi}{3}=\frac{1}{2}+i \frac{-\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}-i \frac{\sqrt{3}}{2} \)

Ответ

\(\ \omega_{1}=\frac{1}{2}+i \frac{\sqrt{3}}{2}, \omega_{2}=-1, \omega_{3}=\frac{1}{2}-i \frac{\sqrt{3}}{2} \)

Задача

Чтобы извлечь корень 2-й степени из числа \(\ z=1-\sqrt{3} i \)

Решение.

Начнем с того, что мы выражаем комплексное число в тригонометрической форме.

Действительной частью комплексного числа \(\ z=1-\sqrt{3} i \) является число \(\ x=\operatorname{Re} z=1 \) , мнимая часть \(\ y=\operatorname{Im} z=-\sqrt{3} \) . Чтобы найти тригонометрическую форму написания комплексного числа, вам нужно найти его модуль и аргумент.

Модуль комплексного числа \(\ r \) - это число:

\(\ r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{1^{2}+(-\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{1+3}=2 \)

Аргумент:

\(\ \varphi=\arg z=\operatorname{arctg} \frac{y}{x}=\operatorname{arctg} \frac{-\sqrt{3}}{1}=\operatorname{arctg}(-\sqrt{3})=\frac{2 \pi}{3} \)

Следовательно, тригонометрическая форма комплексного числа:

\(\ z=2\left(\cos \frac{2 \pi}{3}+i \sin \frac{2 \pi}{3}\right) \)

Применяя формулу для извлечения корня 2-й степени, получаем:

\(\ z^{\frac{1}{2}}=\left(2\left(\cos \frac{2 \pi}{3}+i \sin \frac{2 \pi}{3}\right)\right)^{\frac{1}{2}}=2^{\frac{1}{2}}\left(\cos \frac{2 \pi}{3}+i \sin \frac{2 \pi}{3}\right)^{\frac{1}{2}}= \)

\(\ =\sqrt{2}\left(\cos \left(\frac{\pi}{3}+\pi n\right)+i \sin \left(\frac{\pi}{3}+\pi n\right)\right), n=0,1 \)

При \(\ \mathrm{n}=0 \) получаем:

\(\ \omega_{1}=\sqrt{2}\left(\cos \left(\frac{\pi}{3}+0\right)+i \sin \left(\frac{\pi}{3}+0\right)\right)=\sqrt{2}\left(\frac{1}{2}+i \frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}+i \frac{\sqrt{6}}{2} \)

При \(\ \mathrm{n}=1 \) получаем:

\(\ \omega_{2}=\sqrt{2}\left(\cos \left(\frac{\pi}{3}+\pi\right)+i \sin \left(\frac{\pi}{3}+\pi\right)\right)=\sqrt{2}\left(-\frac{1}{2}+i \frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}+i \frac{\sqrt{6}}{2} \)

Ответ

\(\ \omega_{1}=\frac{\sqrt{2}}{2}+i \frac{\sqrt{6}}{2} ; \omega_{2}=-\frac{\sqrt{2}}{2}+i \frac{\sqrt{6}}{2} \)

Возможно, будет полезно почитать: