План урока множества и операции над ними. «Множества

Муниципальное общеобразовательное учреждение-

Открытый урок по теме: « Множества. Подмножества. Операции над множествами»

5 класс

Учителя математики

Сычук В.Д.

МОУ — Лицей №2

Г.Саратов — 2008

Урок: Множества. Подмножества. Операции над множествами.

Цель урока : 1)повторить основные понятия множества, подмножества,

операции над множествами;

2)развитие логического мышления через решение

нестандартных задач, систематизацию и обобщение,

развитие математической речи

3)воспитание внимательности, интереса к предмету,

Расширение кругозора.

Тип урока : повторительно-обобщающий.

Метод обучения : дидактическая игра – соревнование.

Способ организации деятельности : частично-поисковый.

Оборудование : 1)интерактивная доска;

2)карточки с заданиями для самостоятельной работы

И задачами;

3)карточки с индивидуальными заданиями;

Оформление класса:

1й слайд : Число, тема, эпиграф.

«Множество есть многое мыслимое как единое целое»

Георг Кантор.

Ход урока.

I . Организация.

    Сообщить тему урока, эпиграф, план урока.

    1. Разминка.

      Конкурс теоретиков (самостоятельно 3 человека по карточкам на доске).

      Самостоятельная работа с взаимопроверкой.

      Решение задачи (коллективно).

      Домашнее задание.

      Итог урока.

Класс разбивается на две группы (по вариантам)

Условия игры: 1) Четкие и точные ответы;

2)Скорость;

3)Дисциплина.

Реплика учителя: «И пусть в этой борьбе победит умнейший!»

II . Разминка.

1.Что означает слово «множество»?

    Множество – это набор или совокупность предметов одинаковой природы.

2.Какие названия применяются для обозначения множеств?

    Стадо, табун, коллектив, семья, оркестр, библиотека.

3.Как различаются множества по числу элементов?

    Множества бывают конечные, бесконечные и пустое множество.

4.Какими способами можно задать множество?

    Множество можно задать перечислением или с помощью характеристического свойства.

5.Какое свойство называется характеристическим свойством?

    Характеристическим свойством называется такое свойство, которым обладают все элементы данного множества и не обладают никакие другие объекты.

6.2йслайд :

В данном множестве все элементы, кроме одного, обладают некоторыми свойствами.

Опишите его и найдите лишний элемент.

А = х I х — пустыня

Лишний элемент- кувшинка .

7. 3й слайд :

Что называется подмножеством множества А?

-Множество В называется подмножеством множества А, если каждый элемент множества В является элементом множества А.

8. 4й слайд :

9.Что называется пересечением множеств А и В?

    Пересечением множеств А и В называется множество, в которое входят те и только те элементы, которые содержатся в А и В одновременно.

10.Что называется объединением множеств А и В?

Объединением множеств А и В называется множество, состоящее из тех элементов, которые входят хотя бы в одно из множеств А или В.

11. 5й слайд : Найти пересечение геометрических фигур

1 2. 6й слайд :

III . Конкурс теоретиков

Вызываются 3 человека и работают по карточкам.

Карточка№1

Винни-Пух и Пятачок пришли в гости к Кролику. Кролик угостил их вареньем. Винни-Пух и Пятачок вместе съели 32 ложки варенья, а Винни-Пух и Кролик – 23 ложки варенья.

Сколько ложек варенья съели все три героя?

К арточка№2

А = х│хєN ; 2≤х≤7

В= х│хєN ; 4≤х≤9

Задайте множества перечислением. Найдите АU В; А В; А В; ВА. Изобразите решение на числовой прямой.

Карточка №3

Запишите все подмножества множества a ;b ;с;d .

На сцене висели 5 лампочек. Сколько существует способов освещения сцены?

IV . Конкурс «Кто быстрее». Самостоятельная работа

Самостоятельная работа по карточкам.

Файлы с заданиями в двух вариантах находятся на каждой парте.

Через 7 минут ребята обмениваются тетрадями и сверяют ответы с решениями на интерактивной доске.

7 слайд:

Оценка «5» — нет ошибок

«4» — одна ошибка

«3» — не ставится

8й слайд :

Решение:

Обозначим стоимость коровы –n (А), овцы – n (В), козы – n (С)свиньи –n (D )

n (А U В U С U D )=1325рублей

n (В U C U D )= 425 рублей

n(A U D U B)= 1225 рублей

n (С U D )=275 рублей

1.n (A )=n (А U В U С U D )- n (В U C U D )=1325-425=900рублей — стоимость коровы

2.n (C )= n (А U В U С U D )- n (A U D U B )=1325-1225=100 рублей — стоимость козы

3.n (B )= n (В U C U D )- n (С U D )=425- 275=150 рублей — стоимость овцы

4.n (D )= n (С U D )-n (C )=275-100=175 рублей — стоимость свиньи

Ответ: корова стоит 900р., коза- 100р., овца-150р., свинья-17

Дополнительная задача:

9й слайд:

VII .Итоги игры

В заключении подводятся итоги.

Домашнее задание заранее написано на доске:

Составить задачи на 1)пересечение и объединение геометрических фигур, 2)распиливание; 3)задание множеств и подмножеств с помощью характеристического свойства.

И все-таки победила дружба.

Спасибо за урок, дети!

Урок в 4 классе.

Тема: Операции над множествами: объединение, пересечение.

Цели :

    закрепить представление о множествах, подмножествах, пересечении двух множеств;

    закрепить умение определять: характер отношений между множествами (множество-подмножество, имеют пересечение, не имеют пересечения);

    научиться определять принадлежность объектов заданным множествам, в том числе подмножествам и пересекающимся множествам.

Ход урока

    Организационный момент. Знакомство с темой и целями урока (слайд №1)

    Актуализация знаний.

Учитель.

Ребята, сначала вспомним то, что вам уже известно о множествах.

Назовите элементы множества: (слайд №2)

Множество

Элементы множества

Количество элементов

Месяцев в году

Времен года

Зима, весна, лето, осень

Ученики в вашем классе

Гласные буквы в русском языке

Клеток на шахматном поле

Результатов деления чисел на ноль

Что такое пустое множество? Приведите пример.

    Практическая работа.

1) Раздается всем задание №2

(Один ученик читает задание вслух. Учитель проводит инструктаж выполнения) Например: Ч айка – это птица, множество птиц обозначено «ромбиком», поэтому букву Ч нужно записать внутри ромба.



После выполнения работы дети обмениваются карточками с выполненным заданием, чтобы проверить. На доске показан правильный ответ (слайд№3) и дети проверяют ошибки соседа (если таковы есть). Ставят оценки.

2) Задание №3 (на доске слайд №4)

По заданию №3 ответьте на вопросы:

Какой рисунок соответствует понятию «множество и его подмножество»? (2)

Какой рисунок соответствует понятию «два множества, имеющих пересечение»? (1)

Какой рисунок соответствует понятию «два множества не имеющих пересечения»? (3)

Правильно, а теперь возьмите, пожалуйста, фломастер и проведите стрелку от рисунка к подходящей паре множеств. (после выполнения задания дети обмениваются листочками и проверяют, обращая внимание на ответ на доске,(слайд№4) ставят оценку).

    Ребята, а какие ещё подмножества есть у множества животных? (Подмножества птиц, рыб, насекомых, …)

    Назовите животное, которое:

    является зверем и обитает в море (дельфин, тюлень, морской лев, кит, …);

    обитает в море, но не зверь (осьминог, краб, акула, …);

    зверь, но не обитатель моря (медведь, тигр, заяц, …)

Показать на 1-ой картинке на место пересечения множеств и задать вопрос, какой элемент здесь может «жить» (дельфин).

3) Игра «Назови подмножество»

Класс делится на две команды, каждая команда придумывает себе имя, выбираются эксперты от каждой команды, которые будут подсчитывать и отмечать на листочке все правильные ответы своей команды (можно за правильный ответ команды ставить на листочке просто палочку).

Учитель называет множество, а команды по очереди называют его возможные подмножества (эксперт участвует в работе команды и помечает на листочке все правильные ответы).

Множество фильмов – подмножества комедий, боевиков, индийские фильмы, фильмы сказки;

Множество букв – подмножество гласных и согласных букв;

Множество городов – подмножество европейских городов, столиц, областных центров;

Множество людей в школе – подмножество учителей и учеников;

Множество автомобилей – подмножество легковых, грузовых, иномарок;

Множество мебель – подмножество стульев, столов, шкафов.

    Физкультминутка

Ветер дует нам в лицо,

И качает деревцо,

Ветерок все тише, тише…

Деревцо все выше, выше…

    Самостоятельная работа.

Дети рассаживаются за компьютеры, открывают программу «Мир информатики 3 год обучения», тему «Отношения между множествами. Объединение множеств.» и выполняют все задания. Кто справился раньше, тот получает дополнительное задание №4 на листочках.

    Подведение итогов урока:

Ребята, сегодня вы вспомнили, что различные множества отличаются числом элементов, что одно множество может пересекаться с другим или быть его подмножеством.

    Домашнее задание №7 (слайд №5).

    Рефлексия.

Ребята, а вы довольны своей работой на уроке сегодня? Какую бы вы оценку себе поставили? Нарисуйте «рожицу» (слайд №6)с вашей оценкой на своих рабочих листочках, подпишите их и сдайте мне.

Множества и операции над ними.

Тип урока: Урок ознакомления с новым материалом.

Цель урока: Показать множества – как фундамент современного математического языка.

Задачи урока:

образовательные: знакомство с понятием множества, подмножества и элементами множеств; способами задания множеств; видами множеств;

развивающие: развитие познавательного интереса учащихся; развитие интеллектуальной сферы личности, развитие умений сравнивать и обобщать.

воспитательные: воспитывать аккуратность и внимательность при решении заданий.

Ход урока

I этап. Формулировка темы, цели, задач урока и мотивация учебной деятельности.

Какие числа вы видите на экране? (натуральные, целые, рациональные, действительные)

Как называют эту схему? (Круги Эйлера)

С какой темой связаны круги Эйлера? (множества чисел).

Как вы думаете, кроме множества чисел есть другие множества?

Что такое множество? (Множество – это определенное количество объектов с похожими свойствами)

БЛИЦ-ОПРОС:

Какие названия применяются для обозначения множеств животных?

Какие названия применяются для обозначения множеств военнослужащих?

Как называется множество цветов, стоящих в вазе?

Какие названия применяют для обозначения множеств кораблей?

Как называется множество царей (фараонов, императоров и т.д.) данной страны, принадлежащих одному семейству?

Как называется множество картин?

Как называется множество документов?

II этап. Ознакомление с новым материалом.

А в математике нет точного определения множества. Но каждый объект, входящий во множество называется его элементом. Откройте учебник на стр.25 и найдите таблицу

Приведите пример собственного множества (множество дней недели; множество планет солнечной системы; множество месяцев; множество знаков зодиака; числовые множества).

Если каждый элемент множества А является элементом множества В, то множество А называется подмножеством В. Обозначение: А ⊂ В. Знак « ⊂ » - знак включения.

На доске А = 3,4,5 В= 1,2,3,4,5,6.

С множествами связаны различные парадоксы, самый простой из парадоксов - это "парадокс брадобрея". Появление парадоксов связано с тем, что далеко не всякие конструкции и не всякие множества можно рассматривать.

Одному солдату было приказано брить тех и только тех солдат его взвода, которые сами себя не бреют. Неисполнение приказа в армии, как известно, тягчайшее преступление.

Однако возник вопрос, брить ли этому солдату самого себя. Если он побреется, то его следует отнести к множеству солдат, которые сами себя бреют, а таких брить он не имеет права. Если же он себя брить не будет, то попадёт во множество солдат, которые сами себя не бреют, а таких солдат согласно приказу он обязан брить. Бриться или не бриться – вот в чём вопрос!

III этап. Динамическая пауза

1. Быстро поморгать, закрыть глаза и посидеть спокойно, медленно считая до 5. Повторить 4–5 раз.
2. Крепко зажмурить глаза (считать до 3), открыть глаза и посмотреть вдаль (считать до 5). Повторить 4–5 раз.
3. Движения глаз: вверх, вниз, влево, вправо. Повторить 4-5 раз
4. Повороты головой: вверх, вниз, влево, вправо. Повторить 4-5 раз

IV этап. Первичное осмысление и закрепление связей и отношений в объектах изучения.

Откройте задачник на стр.21 пункт 3. Мы выполняем задания, записанные на доске №1, 2, 9

V этап. Самостоятельная работа(Приложение)

VI этап Домашнее задание

Пункт 3 изучить № 4, 8, 10, 18 (дополнительно)

VII этап. Подведение итогов урока.

Что такое множество?

Кто такой Леонард Эйлер?

Что такое подмножество множества?

На прошлых уроках мы говорили о рациональных неравенствах, сегодня о множествах. Кто догадался какая тема будет следующей?

Доска

Список использованных источников и литературы:

Учебники «Алгебра. 9 кл.I и II части» Авторы: А.Г. Мордкович, Л.А. Александрова, Т.Н. Мишустина и др.,- 11-е издание, стер. - М.: «Мнемозина», 2009 г.;

http://mathlog.h11.ru/mnoj.htm ;

http://festival.1september.ru ;

http://ru.wikipedia.org ;

http://mmmf.msu.ru/archive/20092010/Lanin/9.html;

http://www.it-n.ru;

Занимательные математические задачи. Учеб.пособие./Сост.: А. М. Быковских, Г.Я. Куклина. 2-е изд., испр. Новосиб. гос. ун-т. Новосибирск, 2010. 88 с.;

Математика: Нестандартные задачи./Сост.: А.М.Быковских, канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры высшей математики, КрасГУ.-Красноярск, 2006. 27 с.;

Ященко И.В. Парадоксы теории множеств. (Серия: «Библиотека

«Математическое просвещение»»). М.: МЦНМО, 2002. - 40 с.: ил.

Самостоятельная работа ученика 9 класса__________________

Вариант 1

№1 Дано множество

К= {-10, 3; -7; 0; 2,6; 3}

Составьте его подмножество М, состоящее из неотрицательных чисел:

Ответ: М= { }

№2. Какое словесное описание у множества?

А= {1,3,5,7,9,11,13, 15…}

Ответ: Это множество _____________________ чисел

№3.Составьте три слова, буквы которых образуют подмножества множества

А={к,а,р,у,с,е,л,ь}

Множества и операции над ними

1. Основные понятия о множества.

  1. Основные определения.

Одним из основных понятий математики является понятие множества, и, как каждое основное понятие, не поддаётся точному определению (например, понятия “точка”, “прямая” являются одними из основных понятий геометрии).

МНОЖЕСТВОМ называется собрание, совокупность объектов, объединенных по какому-нибудь общему признаку, свойству.

Примеры:

  1. Множество студентов данной учебной группы.
  2. Множество планет солнечной системы.
  3. Множество букв русского алфавита.
  4. Множество натуральных чисел.

Математический смысл слова “множество” отличается от того, как оно используется в обычной речи. Так, в обычной речи понятие “множество” связывают с большим числом предметов, в математике же этого не требуется. Здесь могут рассматриваться множества, содержащие один объект, много объектов, несколько объектов или не содержащие ни одного объекта.

Объекты, из которых состоит множество, называются его ЭЛЕМЕНТАМИ.

Остановимся на символике, обычно использующейся при обращении с множествами.

Множества обозначаются прописными (заглавными) буквами латинского алфавита (без индексов или с индексами). Например: B, C,…,X,Y,…,A 1 ,B 1,…

Элементы множества обозначаются строчными (малыми) буквами латинского алфавита. Например: b,c,…,x,y,…,a 1, b 1 ,…

В математике особую роль играют множества, элементами которых являются числа. Такие множества называются ЧИСЛОВЫМИ. Некоторые числовые множества имеют специальные обозначения, вводимые для удобства пользования. Один из вариантов этих обозначений, которыми мы будем пользоваться в дальнейшем, выглядит следующим образом:

N – множество всех натуральных чисел;

Z c (или Z + или C + ) – множество всех целых неотрицательных чисел;

Z (или C) – множество всех целых чисел;

Q – множество всех рациональных чисел;

R – множество всех действительных чисел;

R + - множество всех действительных положительных чисел.

По числу элементов, входящих в множество, множества делятся на три класса:

1 – конечные, 2 – бесконечные, 3 – пустые.

1. Если элементы множества можно сосчитать, то множество является КОНЕЧНЫМ.

Пример 1.

Множество гласных букв в слове “математика” состоит из трёх элементов – это буквы “а”, “е”, “и”, причем, гласная считается только один раз, т.е. элементы множества при перечислении не повторяются.

Пример 2.

Множество натуральных чисел бесконечно.

Пример 3.

Множество точек отрезка бесконечно.

3. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется ПУСТЫМ. Символически оно обозначается знаком ∅ .

Пример 4.

Множество действительных корней уравнения x 2 +1=0.

Пример 5.

Множество людей, проживающих на Солнце.

В математике часто приходится определять принадлежность данного элемента конкретному множеству.

Пример 6.

Мы говорим, что число 5 натуральное, т.е. утверждаем, что число 5 принадлежит множеству натуральных чисел. Символически принадлежность множеству записывается с помощью знака ∈ . В данном случае символическая запись будет такой: 5 ∈ N. Читается: “5 принадлежит множеству натуральных чисел”.

Число 5,2 не принадлежит множеству натуральных чисел, т.к. не является натуральным числом. Символически отношение “не принадлежит” записывается с помощью знака (реже ∉ ). Таким образом, здесь имеем: 5,2 ∉ N

Читается: “5,2 не принадлежит множеству натуральных чисел”.

1.2 Способы задания множеств.

Множество считается заданным, если мы владеем способом, позволяющим для любого данного элемента определить, принадлежит он данному множеству или не принадлежит.

Множество можно задать, непосредственно перечислив все его элементы, причём, порядок следования элементов может быть произвольным. В этом случае названия всех элементов множества записываются в строчку, отделяются точкой с запятой и заключаются в фигурные скобки.

Пример 7.

Множество всех гласных букв русского алфавита:

A={а; я; у; ю; э; е;о; ё; и; ы}.

Пример 8.

Множество цифр десятичной системы счисления:

B={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 0}.

Очевидно, что такой способ задания множеств удобно применять для конечных множеств с небольшим количеством элементов.

Конечные и бесконечные множества могут быть заданы другим способом: указанием ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО СВОЙСТВА, т.е. такого свойства, которым обладает любой элемент данного множества и не обладает ни один элемент, не принадлежащий ему.

Пусть P обозначает некоторое свойство, которым обладают все элементы множества А и не обладают элементы никакого другого множества. Тогда множество всех элементов, обладающих свойством Р, обозначим так:

А={х│х обладает свойством Р}={ х│Р(х)}={х: Р(х)}.

Свойство Р, задающее множество А, есть характеристическое свойство множества А.

Пример 9.

Множество чётных натуральных чисел. Зададим его с помощью характеристического свойства:

В={х │х – чётное натуральное число}={х │ х=2k, k Є N}.

Пример 10.

Множество всех действительных чисел на отрезке от 1 до 3 включительно запишется следующим образом:

R 1-3 ={y│1≤ y≤ 3, y Є R}.

Следует заметить, что в ряде случаев одно и то же множество может быть задано как первым, так и вторым способом.

Пример 11.

Множество натуральных чисел, меньших, чем 10.

Первый способ: N ={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}.

Второй способ: N ={z│z

Случается, что одно и то же множество может быть задано с помощью различных характеристических свойств.

Пример 12.

Множество квадратов.

Первый способ: A={x│x – ромб с прямыми углами}.

Второй способ: A={ x│x – прямоугольник с равными сторонами}.

1.3 Отношения между множествами.

Наглядно отношения между множествами изображают при помощи особых чертежей, называемых КРУГАМИ ЭЙЛЕРА (или диаграммами Эйлера – Венна).

Для этого множества, сколько бы они ни содержали элементов, представляют в виде кругов или любых других замкнутых кривых (фигур) – рис.1.

рис. 1.

1. Пусть даны два множества: X={a; b; c; d} и Y={l; k; m; b; c}. Множества Х и Y содержат некоторые одинаковые элементы, а именно “b” и “c” . В данном случае говорят, что множества X иY находятся в отношении ПЕРЕСЕЧЕНИЯ. С помощью кругов Эйлера данное отношение можно представить в виде рис. 2.

X Y B 1 B 2

Рис. 2. рис. 3.

  1. Пусть даны множества B 1 ={1; 2; 3} и B 2 ={4; 5; 6}.

Данные множества различны, у них нет одинаковых элементов. В таком случае говорят, что множества B 1 и B 2 находятся в отношении НЕПЕРЕСЕЧЕНИЯ.

С помощью кругов Эйлера данное отношение показано на рис. 3.

  1. Пусть даны множества A={a; b; c; d; e} и B={a; b; c}.

Очевидно, что эти множества пересекаются; кроме того, каждый элемент
множества В является в то же время (одновременно) и элементом множества А. Тогда говорят, что множество В ВКЛЮЧЕНО в множество А, или что В есть ПОДМНОЖЕСТВО множества А.

Определение 1.1

Множество В является подмножеством множества А тогда и только тогда, когда каждый элемент множества В является элементом множества А.

Отношение “включено” обозначается знаком ⊂ .

Соответственно отношение “включает” – знаком ⊃ .

Определение 1.1 символически записывается так: В ⊂ А или А ⊃ В. С помощью кругов Эйлера данное отношение между множествами показано на рис.4.

Из определения подмножества следует, что всякое непустое множество А содержит по крайней мере два

Множества: Ø и А, которые называются НЕСОБСТВЕННЫМИ

ПОДМНОЖЕСТВАМИ МНОЖЕСТВА. Все остальные подмножества (если они существуют) называются СОБСТВЕННЫМИ ПОДМНОЖЕСТВАМИ МНОЖЕСТВА. То есть, если В – собственное подмножество множества А, то имеем: Ø ⊂ В ⊂ А, или иначе: А ⊃ В ⊃ Ø.

4. Пусть даны множества C={x; y; z}, D={x; y; z}, которые состоят из одних и тех же элементов. В таком случае говорят, что множества С и D равны и пишут C=D.

Определение 1.2

Множества С и D называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.

Используя понятие “включено”, можно дать другое определение равенства множеств.

Определение 1.3

Множества C и D называются равными тогда и только тогда, когда множество С является подмножеством множества D, и наоборот.

Символически данное определение можно записать так:
С = D ⇔ С ⊂ D и D ⊂ С, или С = D ⇔ С ⊂ D ∧ D ⊂ С,
где знак ⇔ означает “эквивалентность” (равнозначность), а знак ∧ (конъюнкция) означает одновременность (совместность) осуществления тех операций (или событий), которые он соединяет.

С помощью кругов Эйлера отношение “равенство” показано на рис.5.

Рис.5. рис.6.

УНИВЕРСАЛЬНОЕ МНОЖЕСТВО

Пусть U (или T – total) – некоторое фиксированное множество. Рассмотрим только такие множества А, В, С,…, которые являются подмножествами множества U. В этом случае множество U называется универсальным множеством всех множеств А, В, С,…

Примером универсального множества может служить множество действительных чисел, множество людей на планете Земля…

Мы его будем изображать прямоугольником с буквой U в правом верхнем углу (рис.6), внутри которого будут размещаться те или иные множества.

2. Операции над множествами

Рассмотрим некоторые операции над множествами.

2.1 Пересечение множеств

Пусть даны два множества: А={a; b; c; d} иB={c; d; e}.образуем новое множество Р, состоящее из всех элементов, принадлежащих одновременно и множеству А, и множеству В, т.е. Р={c;d}. Тогда говорят, что множество Р является пересечением множеств А и В.

Определение 1.4

Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее их всех тех и только тех элементов, которые принадлежат множествам А и В одновременно.

Символически пересечение множеств А и В обозначается так: А ∩ В, где символ ∩ - знак пересечения множеств. Используя характеристическое свойство, определение 1.4 можно записать следующим образом:

Р=А ∩ В= {x ⎪ x ∈ A и x ∈ B}={x ⎪ x ∈ A ∧ x ∈ B}. (1)

Таким образом, (1) есть характеристическое свойство пересечения двух множеств.

Союз “и” иногда заменяют фигурной скобкой, и тогда (1) будет иметь вид:

(2)

Для обозначения одновременной принадлежности множеству А и множеству В используется также знак ∧ (конъюнкция, или логическое “и”):

X ∈ A ∩ B ⇒ x ∈ A ∧ x ∈ B (2а)

Читаются выражения (2) и (2а) одинаково: если х принадлежит пересечению множеств А и В, то х принадлежит как множеству А, так и множеству В.

Если мы имеем ситуацию, когда х не принадлежит пересечению множеств А и В, то это означает, что х не принадлежит или множеству А, или множеству В.

Символически это может быть записано так:

(3)

где квадратная скобка заменяет союз “или”.

В символической записи союз “или” может быть заменен также знаком ∨ (дизъюнкция, логическое “или”):

Х ∉ А ∩ В ⇒ х ∉ А ∨ х ∉ В. (3а)

Читаются выражения (3) и (3а) одинаково: если х не принадлежит пересечению множеств А и В, то х не принадлежит или множеству А, или множеству В.

Графическая иллюстрация вариантов пересечения двух множеств приведена на рис. 7 ÷ 10 (пересечение заштриховано).

рис. 7 рис. 8 рис. 9 рис. 10

2.2 Объединение множеств

Множества А и В входят в их объединение только один раз. Это вполне соответствует толкованию множества, принятому в математике: ни один элемент не может содержаться в множестве несколько раз.

Определение 1.5

Объединением двух множеств А и В называется такое множество С, которое состоит из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В.

Символически объединение двух множеств А и В обозначается так:

А ∪ В, где ∪ - символ объединения множеств. Определение 1.5 можно записать с помощью характеристического свойства:

С= А ∪ В={x ⎪ x ∈ A или x ∈ B}. (4)

Союз “или” иногда заменяют квадратной скобкой

(5)

а также знаком дизъюнкции

Х ∈ А ∪ В ⇒ х ∈ А ∨ х ∈ В. (5а)

Читаются эти знаки одинаково: если элемент х принадлежит объединению двух множеств А и В, то он принадлежит множеству А или множеству В.

Если же элемент х не принадлежит объединению множеств А и В, то он не принадлежит ни множеству А, ни множеству В. Символически это может быть записано так:

(6)

или

X ∉ A ∪ B ⇒ x ∉ A ∧ x ∉ B. (6а)

Графически варианты объединения двух множеств показаны на рис. 11÷14 (объединение заштриховано).

рис. 11 рис. 12 рис. 13 рис. 14

Отметим некоторые очевидные свойства операции объединения двух множеств:

А ∪ А=А, А ∪∅ =А, А ∪ U=U. (7)

Замечание1.

Если А 1 , А 2 ,…, А n – несколько множеств, то аналогично тому, как это делалось для двух множеств, определяется их пересечение, т.е. составляется множество, представляющее их общую часть:

Р= А 1 ∩ А 2 ∩ … ∩ А n ={x ⎪ x ∈∀ A i , i= },

Где символ ∀ (квантор всеобщности) заменяет слово “все”, и, таким образом, мы символически обозначили ту часть множеств A i , которая принадлежит каждому множеству одновременно.

Замечание 2.

Если А 1 , А 2 ,…, А n – несколько множеств, то аналогично тому, как это делалось для двух множеств, определяется их объединение – составляется множество, состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному их них:

C= A 1 ∪ A 2 ∪ … ∪ A n ={x ⎪ x ∈ A 1 или x ∈ A 2 или …или x ∈ A n }.

Замечание 3.

Если в выражении есть знаки ∪ и ∩ и нет скобок, то сначала выполняется операция пересечения, а потом – операция объединения (аналог сложению и умножению в арифметике).

2.3 Разность множеств

Определение 1.6

Разностью двух множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В.

Символически разность двух множеств обозначается так:

А  В, где символ  является знаком разности для множеств. С помощью характеристического свойства запишем определение 1.6 следующим образом:

C=A  B={x ⎪ x ∈ A и x ∉ B} (8)

Или

(9)

а также x ∈ A  B ⇒ x ∈ A ∧ x ∉ B. (9а)

Пример 1.

Если E 1 ={2; 4; 6} и E 2 ={6; 8; 10}, то E 3 =E 1  E 2 ={2; 4}, E 4 =E 2  E 1 ={8;10}.

Пример 2.

Если M 1 ={x 1 ; x 2 ; x 3 }, M 2 ={y 1 ; y 2 }, то M 3 =M 1  M 2 ={ x 1 ; x 2 ; x 3 },

M 4 =M 2  M 1 ={y 1 ; y 2 }.

Пример 3.

Если K 1 ={1; 3; 5; 7; 9}, K 2 ={5; 7; 1}, то K 3 =K 1  K 2 ={3; 9}, K 4 =K 2  K 1 = ∅ .

Графическое представление вариантов разности двух множеств А и В показано на рис. 15÷18, где множество А  В заштриховано.

рис. 15 рис. 16 рис. 17 рис. 18

2.4 Дополнение к множеству

Определение 1.7

Пусть В ⊂ А. Множество всех элементов множества А, не принадлежащих множеству В, называют дополнением к множеству В и обозначают или .

Если ясно, о каком множестве идёт речь, то индекс А опускается и пишут или .

Определение 1.8

Пусть А – некоторое множество, являющееся частью универсального (основного) множества U. Дополнением множества А называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов их множества U, которые не принадлежат А. Его обозначают или .

Это определение может быть записано в виде:

= {x ⎪ x ∉ A}. (10)

Графически дополнения (соответственно определениям 1.7 и 1.8) изображены на рис. 19 и 20 соответственно, на которых дополнения заштрихованы.

Рис. 19 рис. 20


1.Понятие множества 1

2.Способы задания множества 3

3.Отношения между множествами 5

4.Основные операции над множествами 7

5.Свойства объединения и пересечения множеств 10

6.Разбиение множества на классы. Классификация 11

7.Число элементов объединения и разности двух конечных множеств 12

8.Примеры решения задач 13

  1. Понятие множества

Одно из основных понятий современной математики - понятие множества . Оно является первичным, т. е. не поддается определению через другие, более простые понятия. С понятием множества мы встречаемся довольно часто: множество студентов нашего института, множество преподавателей, множество изучаемых дисциплин и т. д.

Хотя в силу первичности понятия множества нельзя дать ему строгое определение, но можно воспользоваться описательным определением, предложенным одним из создателей теории множеств – немецким математиком Георгом Кантором (1845-1918). Он сказал: «Множество есть многое, мыслимое нами как единое».

Приведенные примеры обладают одним существенным свойством: все эти множества состоят из определенного конечного числа объектов, которые мы будем называть элементами множества . При этом каждый из объектов данного вида либо принадлежит, либо не принадлежит рассматриваемому множеству. Например, если мы рассмотрим множество студентов некоторой учебной группы, то, обратившись к списку этой группы, мы можем утверждать, что студент Иванов принадлежит этому множеству, а студент Петров уже не принадлежит в связи с отчислением.

Множества, включающие только такие объекты, принадлежность или не принадлежность которых к тому или иному множеству не вызывает сомнения, называются четкими множествами . Поскольку каждый рассматриваемый объект либо принадлежит, либо не принадлежит к рассматриваемому четкому множеству, эти множества всегда имеют ясно очерченные границы. Четким множествам противопоставлены нечеткие или «лингвистические» множества , включающие такие объекты, которые могут быть отнесены к тому или иному множеству лишь с определенной степенью достоверности. Понятие нечетких множеств (fuzzy sets ) было впервые введено в 1965 году американским математиком Л. Заде.

Понятие нечеткого множества можно проиллюстрировать на примере применения прилагательных детский, юношеский, молодой, среднего возраста, пожилой, старый. Разные люди вкладывают в эти понятия разные возрастные рамки. Например, период от 16 до 21 года может считаться либо как юношеский, либо как относящийся к молодому возрасту. Таким образом, каждое из рассмотренных определений представляет собой нечеткое подмножество с размытыми краями. Объекты, попадающие на эти размытые края, относятся к указанным множествам лишь с известной долей достоверности. Так, например, девятнадцатилетний мужчина может быть с достоверностью 50% отнесен к множеству юношей, и с той же достоверностью - к множеству молодых людей.

Аппарат нечетких множеств может применяться для описания процессов мышления, лингвистических явлений и вообще для моделирования человеческого поведения, при котором допускаются частичные истины, а строгий математический формализм не является категорически необходимым.

Множества, которые состоят из конечного числа элементов, называются конечными множествами . К числу конечных множеств относится также и пустое множество, т.е. множество, не содержащее ни одного элемента. Введение понятия пустого множества связано с тем, что, определяя тем или иным способом множество, мы не можем знать заранее, содержит ли оно хотя бы один элемент. Например, множество отличников в какой-либо учебной группе.

Множества, рассматриваемые при решении практических задач, чаще всего имеет дело с конечными множествами объектов. В качестве примеров бесконечных множеств можно привести множества, рассматриваемые в математике: множество всех натуральных чисел (N ) и множество всех целых чисел (Z ).

 

Возможно, будет полезно почитать: